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關于反應擴散方程在經濟數學中的探究

作者:2017-06-14 17:44文章來源:未知
  引言
  反應擴散方程是反映相關變量與時間空間變量相互關系的等式。在解決實際問題過程中人們經常采用以常微分方程構建的數學模型來模擬并研究其解決方法。隨著研究問題的深入和實際問題復雜化,常微分方程構建模型局限性加大,有時需偏微分方程來解決一些問題,但在利用偏微分方程解決問題時過程很復雜,計算量很大。如果我們利用反應擴散偏微分方程來解決這些問題,可以使其簡單化。
  一、反應擴散方程
  數學上通常把半線性拋物型方程叫做反應擴散方程。其中u 表示某種意義下的濃度,x 表示空間變量,
  Δ 為laplace 算子。
  二、反應擴散方程的行波解
  由于反應擴散方程涉及到很多經濟數學中的數學模型,因此具有廣闊的應用背景,其行波解引起了各個領域的興趣。下面我們來討論一下方程行波解的存在性。
  上面方程的行波解是指u(x,t)=u(x-ct)=u(z)的解,上面方程行波解的充分必要條件是
  2
  2 d u c du u(1 u) 0
  dz dz
  + + - =
  假如某種意義下的濃度u(z)單調有界,那么u(z)就是上面常微分方程的波前解。
  例如設:
  2
  1
  c
  Î=
  ,
  1
  w =Î2 z。前面的反應擴散方程變為
  2
  2 d u du u(1 u) 0
  dw dw
  Î + + - =
  給定的邊界條件是 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
  令可得到
  因此,反應擴散方程的波形解是存在的。
  三、反應擴散偏微分方程
  2
  2 u u u(1 u)
  t x
  ¶ ¶
  = + -
  ¶ ¶
  u(-¥) =1,u(0) = a(0 < a <1),u(¥) = 0
  b ln1 a
  a
  -
  =
  2
  0 1 2 2
  ( ) 1 , ( ) ln (1 )
  1 (1 )2 (1 )
  偏微分方程在經濟數學中有很重要的作用,很多經濟數學問題靠偏微分方程迎刃而解。
  先給出反應擴散偏微分方程的經典形式。函數u(x, y,t) ,滿足下面反應擴散偏微分方程
  初始條件為0 u(x, y,0) = u (x, y),(x, y)ÎW
  邊界條件為u(x, y,t) = g(x, y),(x, y)ζW,tÎ(0,T]
  其中0u (x, y), g(x, y)為已知函數,
  2 2
  x2 y2
  ¶ ¶
  D = +
  ¶ ¶
  是拉普拉斯算符子,
  u(x, y,t)是未知函數。
  我們把徑向函數插值無網格法特解方法應用于上面的方程。設dt = tl+1 - tl為時間步長,對于任意的tI +1 £ t £ tI和0 £q £1,把q -應用到u(x, y,t),可以近似寫成下式
  u(x, y,t) ;q u(x, y,tl+1) + (1-q )u(x, y,tl )
  令ul (x, y) º u(x, y,tl ),得到下列方程
  ul 1 1 (ul 1 ul ) 1 (ul ul ) ul 1
  dt
  q b b
  q a q a a
  + + - +
  D = - - + -
  若uI +1(x)為偏微分方程的解,上式右邊設為F(x, y),上式是標準的Pisson 方程ul+1 = F(x, y)。若 F(x, y) 已知,假設插值點共有 (L - 3) 個,在每點 ( , ) i j x y ,(i =1,2,3,L,L - 3),應用配置點得到F x y l f r l x l y l
  -
  - -
  =
  ;å + + +
  其中,根據限制條件可得出
  3 3 3
  1 1 1
  0
  L L L
  l l l
  j j j j j
  j j j
  l l x l y
  - - -
  = = =
  å =å =å =
  則近似函數u(x, y)有下列這樣的形式
  1 1
  1
  ( , ) ( )
  l
  l l
  j j j
  j
  u + x y l + r
  =
  ;å F
  其中滿足
  ( , ) ( , ) j j DF x y =f x y
  在這里使用徑向函數MQ 和TPS 計算得到
  2 2 3
  2 2 2 2
  2 2 2 2
  2 3
  4
  ( , ) ( ) ln( ( ))
  9 3
  ( , ) 1 ln( ) 1
  4( 1) 4( 1)
  j
  j j j
  m m
  k k k
  c r c xy r c c r c
  x y r r r
  m m
  + +
  +
  F = + - + +
  F = -
  + +
  變為矩陣形式
  [ ]l [ ]l u = A l
  通過上面的分析就可以利用反應擴散方程求解偏微分方程。反應擴散偏微分方程能夠提高解決問題的效率。
  四、結語
  經濟數學具有很強的實踐性和運用性,經濟數學的研究方法應用在物理、化學等自然科學領域,甚至與像經濟這樣的社會科學也有緊密的聯系。經濟數學為這些學科的發展起到了重大的推動作用。利用建立的數學模型使得經濟研究更加精密準確,實用性更強。為我國的經濟發展做出更大的貢獻。
 

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